ff1588d761d55f48f61a52249e1dcc24

<!DOCTYPE html>

<title>Selbstadjungierter Operator</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Selbstadjungierter Operator</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Ein selbstadjungierter Operator ist ein <a href="Linearer_Operator" title="Linearer Operator">linearer Operator</a> mit besonderen Eigenschaften. Operatoren und insbesondere selbstadjungierte Operatoren werden im mathematischen Teilgebiet der <a href="Funktionalanalysis" title="Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a> untersucht. Der selbstadjungierte Operator ist eine Verallgemeinerung der <a href="Selbstadjungierte_Matrix" title="Selbstadjungierte Matrix">selbstadjungierten Matrix</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

In diesem Abschnitt wird die Definition des selbstadjungierten Operators angeführt. Im ersten Abschnitt wird sie nur für beschränkte Operatoren gegeben und im zweiten dann auch für unbeschränkte. Da beschränkte Operatoren immer auf dem ganzen Vektorraum definiert werden können, ist der beschränkte selbstadjungierte Operator ein Spezialfall des unbeschränkten selbstadjungierten Operators.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beschränkte_Operatoren">Beschränkte Operatoren</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (H,\langle .,.\rangle )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (H,\langle .,.\rangle )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24647d22d34e9b4448c43bafed3c52d4ee1f4cf7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.818ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (H,\langle .,.\rangle )}" loading="lazy"> ein <a href="Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilbertraum</a> bestehend aus dem <a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> und dem <a href="Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a50080b735975d8001c9552ac2134b49ad534c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.137ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }" loading="lazy"> und sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon H\to H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon H\to H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f57abea9481db7a0f763be5ffc567050b0fff971.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.412ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T\colon H\to H}" loading="lazy"> ein <a href="Beschr%C3%A4nkter_Operator" title="Beschränkter Operator">beschränkter</a> <a href="Linearer_Operator" title="Linearer Operator">linearer Operator</a>. Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> die Gleichung

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e7a0a3d86b5346ffe65031d4a8bdc5ac1ce8a94.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.028ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle }" loading="lazy"></dd></dl>

erfüllt, heißt er selbstadjungiert.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Unbeschränkte_Operatoren">Unbeschränkte Operatoren</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (H,\langle .,.\rangle )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (H,\langle .,.\rangle )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24647d22d34e9b4448c43bafed3c52d4ee1f4cf7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.818ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (H,\langle .,.\rangle )}" loading="lazy"> ein <a href="Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilbertraum</a> bestehend aus dem <a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> und dem <a href="Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a50080b735975d8001c9552ac2134b49ad534c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.137ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }" loading="lazy"> und sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon D(T)\to H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon D(T)\to H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15407683a344d7453028fb5c45aa32c15f2caeb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.718ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T\colon D(T)\to H}" loading="lazy"> ein <a href="Dicht_definierter_Operator" class="mw-redirect" title="Dicht definierter Operator">dicht definierter Operator</a>. Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(T^{*})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(T^{*})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f3c601bbcac538ca0d9202884f51401ab1e7669a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.508ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D(T^{*})}" loading="lazy"> der Raum aller <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\in H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\in H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa3b8cfbeab2ec976c41ccc1573c57ef839d6c07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.06ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y\in H}" loading="lazy">, so dass das lineare <a href="Funktional" title="Funktional">Funktional</a>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto \langle Tx,y\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc949c17d320ff0e00a6749a1ae4879abee2a057.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.908ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto \langle Tx,y\rangle }" loading="lazy"></dd></dl>

stetig ist. Dieses Funktional hat den Definitionsbereich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(T)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(T)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab941ef2f489839ae5bd1f50b232217e3aa47b59.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.37ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D(T)}" loading="lazy">, ist also dicht definiert in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy">. Folglich besitzt es eine eindeutige <a href="Stetige_Fortsetzung" class="mw-redirect" title="Stetige Fortsetzung">stetige Fortsetzung</a> auf ganz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy">. Nach dem <a href="Darstellungssatz_von_Fr%C3%A9chet-Riesz" title="Darstellungssatz von Fréchet-Riesz">Darstellungssatz von Fréchet-Riesz</a> existiert ein eindeutig bestimmtes Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{*}y\in H}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{*}y\in H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e941399e9d911dfdc796d650dc860c60642d1a70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.834ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle T^{*}y\in H}" loading="lazy">, so dass

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,T^{*}y\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c9a9f0c390093ae2e696d98112dc8013e757498.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.166ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,T^{*}y\rangle }" loading="lazy"></dd></dl>

für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0957496d2596a81d84e50252c806c5ae488396.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.234ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in H}" loading="lazy"> gilt. Der Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5426ed7abdea7d2ff995ad0e01bc4ca62a273855.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.774ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle T^{*}}" loading="lazy"> mit dem Definitionsbereich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(T^{*})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(T^{*})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f3c601bbcac538ca0d9202884f51401ab1e7669a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.508ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D(T^{*})}" loading="lazy"> ist der zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> eindeutig bestimmte <a href="Adjungierter_Operator" title="Adjungierter Operator">adjungierte Operator</a>.

Der Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> heißt nun selbstadjungiert, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T=T^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=T^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abc7c2c0ef6f278ed4501cca16a1b29538e8a72d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.509ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle T=T^{*}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(T)=D(T^{*})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(T)=D(T^{*})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1bdc7a871e5bf45e84bc3ecb5ae4caf27a16d531.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.976ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D(T)=D(T^{*})}" loading="lazy"> gelten, also falls der Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> mit seinem adjungierten Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5426ed7abdea7d2ff995ad0e01bc4ca62a273855.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.774ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle T^{*}}" loading="lazy"> und die entsprechenden Definitionsbereiche übereinstimmen.<a href="#cite_note-2">[2]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

<a href="John_von_Neumann" title="John von Neumann">John von Neumann</a>, der 1929 die Theorie der <a href="Unbeschr%C3%A4nkter_Operator" class="mw-redirect" title="Unbeschränkter Operator">unbeschränkten Operatoren</a> begründete, war auch der erste, der die Notwendigkeit erkannte, zwischen symmetrischen und selbstadjungierten Operatoren zu unterscheiden. Denn nur für die letzteren kann eine Spektralzerlegung, wie sie im letzten Abschnitt dieses Artikels beschrieben wird, gezeigt werden. Von Neumann nannte symmetrische Operatoren <a href="Hermitescher_Operator" title="Hermitescher Operator">hermitesch</a>. Er stellte fest, dass es unter anderem für die Spektralzerlegung wichtig sei, dass ein Operator keine symmetrische Erweiterung zulässt und nannte diese Klasse von Operatoren maximal hermitesch. Jedoch ist diese Forderung für den Spektralsatz, der selbstadjungierte Operatoren voraussetzt, noch nicht hinreichend. Von Neumann nannte auf Anregung <a href="Erhard_Schmidt_(Mathematiker)" title="Erhard Schmidt (Mathematiker)">Erhard Schmidts</a> selbstadjungierte Operatoren hypermaximal. Der Begriff selbstadjungierter Operator wurde von <a href="Marshall_Harvey_Stone" title="Marshall Harvey Stone">Marshall Harvey Stone</a> geprägt.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verwandte_Objekte">Verwandte Objekte</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Selbstadjungierte_Matrix">Selbstadjungierte Matrix</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Selbstadjungierte_Matrix" title="Selbstadjungierte Matrix">Selbstadjungierte Matrix</a></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d1dfbdbc9f282a890a4539ce701c2029c1e1820.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.364ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}" loading="lazy"> der <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reelle</a> oder <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexe Zahlenkörper</a> und sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a50080b735975d8001c9552ac2134b49ad534c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.137ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }" loading="lazy"> ein <a href="Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukt</a> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a1b0e9deab96680361150c03545251d39f90634.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.673ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}" loading="lazy"> dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbb {K} ^{n},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbb {K} ^{n},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3733910748cc293d5a4677cc07457006377f43d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.007ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathbb {K} ^{n},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}" loading="lazy"> ein Hilbertraum. Eine Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> heißt selbstadjungiert, wenn

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle Ay,x\rangle =\langle y,Ax\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/411d46a41b4277a6251674ec1e24d621f5f36ed1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.241ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle Ay,x\rangle =\langle y,Ax\rangle }" loading="lazy"></dd></dl>

für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,y\in \mathbb {K} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,y\in \mathbb {K} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc098d9a56c566c4b2635a0b39af06e3454ea20b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.386ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x,y\in \mathbb {K} ^{n}}" loading="lazy"> gilt. Die Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> wird hier als <a href="Lineare_Abbildung" title="Lineare Abbildung">lineare Abbildung</a> auf dem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7e8ae3da7ba82a494455bdb6b113004b453be41a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.027ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}" loading="lazy"> aufgefasst. Da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen abbildet, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> beschränkt, daher <a href="Stetige_Abbildung" class="mw-redirect" title="Stetige Abbildung">stetig</a> und somit auch dicht definiert. Also ist eine selbstadjungierte Matrix auch ein selbstadjungierter Operator. Betrachtet man den <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> mit seinem <a href="Standardskalarprodukt" title="Standardskalarprodukt">Standardskalarprodukt</a>, so entsprechen die <a href="Symmetrische_Matrix" title="Symmetrische Matrix">symmetrischen Matrizen</a> den selbstadjungierten. Im Fall des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a53b4e76242764d1bca004168353c380fef25258.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}" loading="lazy"> mit dem entsprechenden kanonischen Skalarprodukt sind die <a href="Hermitesche_Matrix" title="Hermitesche Matrix">hermiteschen Matrizen</a> die selbstadjungierten.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Symmetrischer_Operator">Symmetrischer Operator</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Symmetrischer_Operator" title="Symmetrischer Operator">Symmetrischer Operator</a></div>

Ein Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon D(T)\to H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon D(T)\to H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15407683a344d7453028fb5c45aa32c15f2caeb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.718ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T\colon D(T)\to H}" loading="lazy"> heißt symmetrisch, falls

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle Ty,x\rangle =\langle y,Tx\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/465d93c2abdcb0f3a7c062ca08f03d72825c1b5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.028ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle Ty,x\rangle =\langle y,Tx\rangle }" loading="lazy"></dd></dl>

für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,\,y\in D(T)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,\,y\in D(T)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aa3a57aa7c9a8402b7a20c1df2e4a166cfb83693.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.117ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x,\,y\in D(T)}" loading="lazy"> gilt. Im Gegensatz zum selbstadjungierten Operator wird hier nicht gefordert, dass der Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> dicht definiert sein muss (das ist in der Literatur aber nicht einheitlich). Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> dicht definiert (und damit der adjungierte Operator wohl definiert), so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> genau dann symmetrisch, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\subseteq T^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\subseteq T^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ebaaf9f92605f949a455a7950cca49b9c506ed45.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.509ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T\subseteq T^{*}}" loading="lazy"> gilt. Für beschränkte Operatoren fallen die Begriffe selbstadjungiert und symmetrisch zusammen. Daher sind symmetrische, nicht selbstadjungierte Operatoren immer <a href="Unbeschr%C3%A4nkter_Operator" class="mw-redirect" title="Unbeschränkter Operator">unbeschränkt</a>. Außerdem besagt der <a href="Satz_von_Hellinger-Toeplitz" title="Satz von Hellinger-Toeplitz">Satz von Hellinger-Toeplitz</a>, dass jeder symmetrische Operator, der auf ganz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> definiert ist, stetig und damit selbstadjungiert ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wesentlich_selbstadjungierter_Operator">Wesentlich selbstadjungierter Operator</h3></div>

Ein Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon D(T)\to H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon D(T)\to H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15407683a344d7453028fb5c45aa32c15f2caeb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.718ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T\colon D(T)\to H}" loading="lazy"> heißt wesentlich selbstadjungiert, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> symmetrisch, dicht definiert und seine Abschließung selbstadjungiert ist. Einen wesentlich selbstadjungierten Operator kann man also immer zu einem selbstadjungierten Operator fortsetzen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Symmetrische_Matrix">Symmetrische Matrix</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Symmetrische_Matrix" title="Symmetrische Matrix">Symmetrische Matrix</a></div>

Eine symmetrische Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ebb63eca276c71633e0939f5c5d4ef4bfc565518.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.745ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}" loading="lazy"> kann als Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fb120d32e9b976c234cf07e8ee3dbd4688bdecc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.184ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> verstanden werden. Bezüglich des Standardskalarproduktes ist jede symmetrische Matrix eine selbstadjungierte Matrix beziehungsweise ein selbstadjungierter Operator.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Der_Operator_-i_d/dx">Der Operator -i d/dx</h3></div>

Ist ein Operator beschränkt, so sind die Begriffe symmetrischer Operator, wesentlich selbstadjungierter Operator und selbstadjungierter Operator wie erwähnt äquivalent. Bei unbeschränkten Operatoren impliziert zwar die Selbstadjungiertheit die Symmetrie, aber die Umkehrung gilt nicht. Ein Gegenbeispiel gibt das folgende Paar:

<ol><li>Im Folgenden wird der Hilbertraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{\infty }(]0,1[)\cap L^{2}(]0,1[)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{\infty }(]0,1[)\cap L^{2}(]0,1[)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/072dfe9fb253858b2f667985aacbfca8d547218e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.817ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle C^{\infty }(]0,1[)\cap L^{2}(]0,1[)}" loading="lazy"> und der <a href="Differentialoperator" title="Differentialoperator">Differentialoperator</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{1}:=-{\rm {i}}\,{\tfrac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}={\tfrac {1}{\rm {i}}}\,{\tfrac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{1}:=-{\rm {i}}\,{\tfrac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}={\tfrac {1}{\rm {i}}}\,{\tfrac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26619a51b994af0d948e9bb7b73e23ddd1d02882.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; margin-left: -0.089ex; width:19.425ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle p_{1}:=-{\rm {i}}\,{\tfrac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}={\tfrac {1}{\rm {i}}}\,{\tfrac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}}" loading="lazy"> mit den <a href="Dirichlet-Randbedingung" title="Dirichlet-Randbedingung">dirichletschen Randbedingungen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi (0)=\psi (1)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (0)=\psi (1)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e408d53ecabaa2cd68433ee3abc4128d16825129.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.329ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi (0)=\psi (1)=0}" loading="lazy"> betrachtet.</li>

<li>Und dessen Erweiterung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{2},}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{2},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3276f5398c47ec0f540bcbed1ef217eae45088f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.96ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{2},}" loading="lazy"> bei der man nur „Periodizität“ fordert, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi (1)=\psi (0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (1)=\psi (0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/070ad1fce95baa9073550cdee2a980a9909f52dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.068ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi (1)=\psi (0)}" loading="lazy">.</li></ol>

Aus der Gleichungskette

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle u,p_{i}v\rangle _{L^{2}}-\langle p_{i}u,v\rangle _{L^{2}}=\int _{0}^{1}{\overline {u(x)}}\cdot p_{i}v(x)-{\overline {p_{i}u(x)}}\cdot v(x)\mathrm {d} x=-{\rm {i}}\cdot \left({\overline {u}}(1)\cdot v(1)-{\overline {u}}(0)\cdot v(0)\right)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ed0f05105a07213e35a37c7f68eb4749822cbcd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:95.742ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \langle u,p_{i}v\rangle _{L^{2}}-\langle p_{i}u,v\rangle _{L^{2}}=\int _{0}^{1}{\overline {u(x)}}\cdot p_{i}v(x)-{\overline {p_{i}u(x)}}\cdot v(x)\mathrm {d} x=-{\rm {i}}\cdot \left({\overline {u}}(1)\cdot v(1)-{\overline {u}}(0)\cdot v(0)\right)=0}" loading="lazy"></dd></dl>

folgt, dass die Operatoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.059ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\in \{1,2\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\in \{1,2\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ebe15d55dc04257a7634ea5447371b6f8c1c205.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.327ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i\in \{1,2\}}" loading="lazy"> symmetrisch sind. Jedoch ist nur der Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43f1b08d7d69712872e051c2b33fdfa9f5d42319.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.313ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{2}}" loading="lazy"> selbstadjungiert, denn im ersten Fall wird der <a href="Definitionsmenge" title="Definitionsmenge">Definitionsbereich</a> in unnötiger Weise eingeschränkt. Er besitzt dann gar keine Eigenfunktionen mehr, weil diese alle von der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exp(i\lambda _{n}\cdot x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exp(i\lambda _{n}\cdot x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d10a60f42e19fa363102ff75b9844d03084ba33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.747ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exp(i\lambda _{n}\cdot x)}" loading="lazy"> sind, also die geforderte Bedingung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi (0)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (0)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ade1f027dea10715a1a21952377c4f113a2fdf3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.746ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi (0)=0}" loading="lazy"> verletzen würden.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Laplace-Operator">Laplace-Operator</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Laplace-Operator" title="Laplace-Operator">Laplace-Operator</a></div>

Der Laplace-Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \colon D(\Delta )\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \colon D(\Delta )\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4eae6d1bccf1cbbb1b945fd92c40dff9df7208ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.596ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta \colon D(\Delta )\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"> ist ein unbeschränkter Operator. Er ist bezüglich des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba162c66ca85776c83557af5088cc6f8584d1912.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.637ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle L^{2}}" loading="lazy">-Skalarproduktes selbstadjungiert. Das heißt, er ist symmetrisch bezüglich dieses Skalarprodukts, was

<msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\Delta f(x)g(x)\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\Delta g(x)\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1f8076aad05a57cb28835ce502bd1ed0656515b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:37.686ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\Delta f(x)g(x)\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\Delta g(x)\mathrm {d} x}" loading="lazy"></dd></dl>

für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,\,g\in D(\Delta )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,\,g\in D(\Delta )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7fb0c8c181eb9aa658982a1abbe83def1a325b83.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.326ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f,\,g\in D(\Delta )}" loading="lazy"> bedeutet, und ist dicht definiert. Die Ableitung ist hier im <a href="Schwache_Ableitung" title="Schwache Ableitung">schwachen Sinn</a> zu verstehen. Somit gilt für den Definitionsbereich

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(\Delta )=\{u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}):\Delta u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ac1532ecf4229ef14cf321db8469ff8850dd0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.639ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle D(\Delta )=\{u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}):\Delta u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Dies entspricht dem <a href="Sobolev-Raum" title="Sobolev-Raum">Sobolev-Raum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} ^{n})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d32a7f4dbd47d09b1196c345d844bbfa57dbf89.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.864ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"> der quadratintegierbaren und zweimal schwach differenzierbaren Funktionen, dieser liegt dicht in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f15dffc817bd5f8767061d98adb57caf3519f46f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.343ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy">. Die Symmetrie des Laplace-Operators folgt aus der <a href="Greensche_Formel" class="mw-redirect" title="Greensche Formel">greenschen Formel</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Multiplikationsoperator">Multiplikationsoperator</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22ed3b570455214147b8afded02ac578a0ba86e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}" loading="lazy"> ein <a href="Ma%C3%9Fraum" title="Maßraum">Maßraum</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79b5db51587979cab7e95987f81139d30b7a263d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.283ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }" loading="lazy"> eine <a href="Messbare_Funktion" title="Messbare Funktion">messbare Funktion</a>. Der Multiplikationsoperator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{f}\colon D(M_{f})\to L^{2}(\mu )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{f}\colon D(M_{f})\to L^{2}(\mu )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/64caf9aa4e3429bc065f7f5d6dfac3e7c68124c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:21.01ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle M_{f}\colon D(M_{f})\to L^{2}(\mu )}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(M_{f})=\{x\in L^{2}(\mu ):f\cdot x\in L^{2}(\mu )\}\subset L^{2}(\mu )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(M_{f})=\{x\in L^{2}(\mu ):f\cdot x\in L^{2}(\mu )\}\subset L^{2}(\mu )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e96a11858af0ddc19f765d9cf5b1948d051e044d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:46.426ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle D(M_{f})=\{x\in L^{2}(\mu ):f\cdot x\in L^{2}(\mu )\}\subset L^{2}(\mu )}" loading="lazy"> ist definiert durch

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto M_{f}x:=f\cdot x.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/768d4bc9e304b1f9139162f44993f5f9e6555599.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:18.343ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto M_{f}x:=f\cdot x.}" loading="lazy"></dd></dl>

Dieser Operator ist unbeschränkt und dicht definiert, denn für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega _{n}:=\{\omega \in \Omega :|f(\omega )|\leq n\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega _{n}:=\{\omega \in \Omega :|f(\omega )|\leq n\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0984caea7bc92e1e315d3c8888c6f0d9a7dfbcd9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.189ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Omega _{n}:=\{\omega \in \Omega :|f(\omega )|\leq n\}}" loading="lazy"> enthält <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(M_{f})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(M_{f})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70f4a82e26b6682b0437d70ba459a15b08c1ab11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.124ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle D(M_{f})}" loading="lazy"> alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba162c66ca85776c83557af5088cc6f8584d1912.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.637ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle L^{2}}" loading="lazy">-Klassen, die außerhalb von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega _{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega _{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e760caa566b15088fbba0c37e08f621ce657f02a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.897ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Omega _{n}}" loading="lazy"> verschwinden und wegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \Omega =\bigcup _{n}\Omega _{n}}">

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \Omega =\bigcup _{n}\Omega _{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e973b8148a0b415a165cef4807879521d22fd41b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.215ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \Omega =\bigcup _{n}\Omega _{n}}" loading="lazy"> ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(M_{f})\subset L^{2}(\mu )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(M_{f})\subset L^{2}(\mu )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db2e50e5477fee8381b34a4499a08fbba47cacba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.071ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle D(M_{f})\subset L^{2}(\mu )}" loading="lazy"> dicht. Außerdem ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{f}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{f}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be53b2e05e15a7c85c9be0f4ba32d7f3ef28b98b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.39ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M_{f}}" loading="lazy"> bezüglich des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba162c66ca85776c83557af5088cc6f8584d1912.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.637ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle L^{2}}" loading="lazy">-Skalarproduktes symmetrisch. Der Operator ist auch selbstadjungiert. Da für einen symmetrischen Operator nämlich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{f}\subset M_{f}^{*}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{f}\subset M_{f}^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3e17ae130443c5d52280d121479352eabedd8ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:10.042ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle M_{f}\subset M_{f}^{*}}" loading="lazy"> gilt, was <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(M_{f})\subset D(M_{f}^{*})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(M_{f})\subset D(M_{f}^{*})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61f2d57fcb09ffdef7ac9e51b8dbd20859ed2749.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:17.509ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle D(M_{f})\subset D(M_{f}^{*})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{f}^{*}|_{D(M_{f})}=M_{f}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{f}^{*}|_{D(M_{f})}=M_{f}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a801b5fe37d0ac8eac74facc7f328c6374ad05c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:16.053ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle M_{f}^{*}|_{D(M_{f})}=M_{f}}" loading="lazy"> bedeutet, muss für die Selbstadjungiertheit nur noch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(M_{f}^{*})\subset D(M_{f})}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(M_{f}^{*})\subset D(M_{f})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/953629bf5ccaf1b26fe72a17aee0e4fd629b4e34.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:17.509ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle D(M_{f}^{*})\subset D(M_{f})}" loading="lazy"> gezeigt werden. Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \chi _{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \chi _{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbd6b3dfa2b07ba35c0294c0b22321a9852bb6be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.674ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \chi _{n}}" loading="lazy"> die <a href="Indikatorfunktion" title="Indikatorfunktion">charakteristische Funktion</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega _{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega _{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e760caa566b15088fbba0c37e08f621ce657f02a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.897ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Omega _{n}}" loading="lazy">, für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\in D(M_{f})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\in D(M_{f})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db54a771ea5639d32ecf5bac08a1594d7de7678b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.053ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle z\in D(M_{f})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in D(M_{f}^{*})}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in D(M_{f}^{*})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cfaeeddd1fe2b5a9944ba3d90b8a2d9dc705fea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:11.457ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle x\in D(M_{f}^{*})}" loading="lazy"> gilt

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle z,\chi _{n}M_{f}^{*}x\rangle _{L^{2}}=\langle \chi _{n}z,M_{f}^{*}x\rangle _{L^{2}}=\langle M_{f}(\chi _{n}z),x\rangle _{L^{2}}=\langle f\chi _{n}z,x\rangle _{L^{2}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/393f4399dd18d8b578057eacaa95e33d94bb3cd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:63.997ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \langle z,\chi _{n}M_{f}^{*}x\rangle _{L^{2}}=\langle \chi _{n}z,M_{f}^{*}x\rangle _{L^{2}}=\langle M_{f}(\chi _{n}z),x\rangle _{L^{2}}=\langle f\chi _{n}z,x\rangle _{L^{2}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Das heißt, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \chi _{n}M_{f}^{*}x=\chi _{n}fx}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \chi _{n}M_{f}^{*}x=\chi _{n}fx}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/674e2405fcb2d8073ded6e7554f7e1dcae01432a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:15.937ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \chi _{n}M_{f}^{*}x=\chi _{n}fx}" loading="lazy"> gilt <a href="Fast_%C3%BCberall" title="Fast überall">fast überall</a>. Da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \chi _{n}\to 1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \chi _{n}\to 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7182bab816e173f62901d502b54da2a6c07c21a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.45ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \chi _{n}\to 1}" loading="lazy"> punktweise konvergiert, gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{f}^{*}x=fx}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{f}^{*}x=fx}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31f34010979fa56bffaf4b5bdcc3100b849cfbbb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:10.589ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle M_{f}^{*}x=fx}" loading="lazy"> fast überall. Da nun <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{f}^{*}x=fx}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{f}^{*}x=fx}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31f34010979fa56bffaf4b5bdcc3100b849cfbbb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:10.589ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle M_{f}^{*}x=fx}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba162c66ca85776c83557af5088cc6f8584d1912.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.637ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle L^{2}}" loading="lazy"> liegt ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in D(M_{f})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in D(M_{f})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e72b9e3142cee8c709c450634e903dab736195c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.294ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x\in D(M_{f})}" loading="lazy">, was <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(M_{f})=D(M_{f}^{*})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(M_{f})=D(M_{f}^{*})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bf1bd6c3e43cf8cdd409541b9f4df3bb5293474.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:17.509ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle D(M_{f})=D(M_{f}^{*})}" loading="lazy"> zeigt und somit die Selbstadjungiertheit beweist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kriterien">Kriterien</h2></div>

Für einen in einem Hilbertraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (H,\langle .,.\rangle )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (H,\langle .,.\rangle )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24647d22d34e9b4448c43bafed3c52d4ee1f4cf7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.818ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (H,\langle .,.\rangle )}" loading="lazy"> dicht definierten Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon D(T)\to H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon D(T)\to H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15407683a344d7453028fb5c45aa32c15f2caeb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.718ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T\colon D(T)\to H}" loading="lazy"> gibt es hinsichtlich der Frage der Selbstadjungiertheit folgende immer wieder genannte <a href="Kriterium" title="Kriterium">Kriterien</a><a href="#cite_note-Werner-4">[4]</a><a href="#cite_note-Hirzebruch-Scharlau-5">[5]</a><a href="#cite_note-Meise-Vogt-6">[6]</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Erstes_Kriterium">Erstes Kriterium</h3></div>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ist dann und nur dann selbstadjungierter Operator in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy">, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=T^{*}=T^{**}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54919b4dbff5f5b678d51d3cc90f310b64ebf4f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.204ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle T=T^{*}=T^{**}}" loading="lazy">.</li></ol>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zweites_Kriterium">Zweites Kriterium</h3></div>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ist dann und nur dann selbstadjungierter Operator in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy">, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ist symmetrisch.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ist <a href="Abgeschlossener_Operator" title="Abgeschlossener Operator">abgeschlossen</a>.</li>

<li>Die <a href="Kern_(Algebra)" title="Kern (Algebra)">Nullräume</a> der beiden Operatoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{*}-\mathrm {i} \cdot Id_{H}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{*}-\mathrm {i} \cdot Id_{H}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6bd52b4425e6ccae2343568589857991c9a91e68.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.013ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle T^{*}-\mathrm {i} \cdot Id_{H}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{*}+\mathrm {i} \cdot Id_{H}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{*}+\mathrm {i} \cdot Id_{H}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/256379e0467f8085f593dacf095393ee2ec91667.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.013ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle T^{*}+\mathrm {i} \cdot Id_{H}}" loading="lazy"> sind gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{0\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ff0df9ef65c0572eb676580ce1c02b8ec40f694.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.487ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{0\}}" loading="lazy">.</li></ol>

Für die in der zuletzt genannten Bedingung auftretenden Nullräume betrachtet man oft deren <a href="Hilbertraumdimension" class="mw-redirect" title="Hilbertraumdimension">Hilbertraumdimensionen</a>. Diese nennt man im Falle eines symmetrischen Operators <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> auch dessen Defektindizes. Die zuletzt genannte Bedingung lässt sich daher auch so ausdrücken, dass die Defektindizes von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> gleich 0 sind.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Drittes_Kriterium">Drittes Kriterium</h3></div>

Die Bedingungen 2 und 3 des zweiten Kriteriums lassen sich zu einer einzigen umdeuten und auf diesem Wege erhält man hinsichtlich der Frage der Selbstadjungiertheit von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ein weiteres gleichwertiges Kriterium:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ist dann und nur dann selbstadjungierter Operator in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy">, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ist symmetrisch.</li>

<li>Die <a href="Bild_(Mathematik)" title="Bild (Mathematik)">Bildräume</a> der beiden Operatoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T-\mathrm {i} \cdot Id_{H}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T-\mathrm {i} \cdot Id_{H}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90de5e4aa91e38f0bce22bdbfde34f42c3d5ea27.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.875ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T-\mathrm {i} \cdot Id_{H}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T+\mathrm {i} \cdot Id_{H}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T+\mathrm {i} \cdot Id_{H}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a10f7dd16328af2bc5ce67958c640f37b468487e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.875ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T+\mathrm {i} \cdot Id_{H}}" loading="lazy"> sind gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy">.</li></ol>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Viertes_Kriterium">Viertes Kriterium</h3></div>

Das vierte Kriterium zeigt, dass die Selbstadjungiertheit eines dicht definierten Operators im Wesentlichen durch die Lage seines <a href="Spektrum_(Operatortheorie)#Das_Spektrum_linearer_Operatoren" title="Spektrum (Operatortheorie)">Spektrums</a> innerhalb der <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</a> bestimmt wird:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ist dann und nur dann selbstadjungierter Operator in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy">, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ist symmetrisch.</li>

<li>Das Spektrum von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> besteht allein aus reellen Zahlen, also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (T)\subset \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (T)\subset \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90e7d025898b1a8f8251c9d803ed39be2c6b72eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.552ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (T)\subset \mathbb {R} }" loading="lazy">.</li></ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ein dicht definierter Operator auf dem Hilbertraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (H,\langle .,.\rangle ),}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (H,\langle .,.\rangle ),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c362e027dcbbc8c14036cde4495b956f12ac3be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.465ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (H,\langle .,.\rangle ),}" loading="lazy">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{*}T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/63698c41669eb71378ceca95f5a3299ebf71e187.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.41ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle T^{*}T}" loading="lazy"> ein selbstadjungierter Operator mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle Tx,x\rangle \geq 0.}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle Tx,x\rangle \geq 0.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af1e16e4688c8240e5e895451101e50ffcdb2ac3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.047ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle Tx,x\rangle \geq 0.}" loading="lazy"></li></ul>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ein selbstadjungierter Operator auf dem Hilbertraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (H,\langle .,.\rangle ).}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (H,\langle .,.\rangle ).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22bf7bc42659eecfb47c491518be226f3cbfe744.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.465ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (H,\langle .,.\rangle ).}" loading="lazy">

<ul><li>Für das <a href="Spektrum_(Operatortheorie)" title="Spektrum (Operatortheorie)">Spektrum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (T)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (T)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9888a5496892a8c482ad465f48b839102187bd1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.775ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (T)}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (T)\subset \mathbb {R} .}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (T)\subset \mathbb {R} .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea7b9563a044551849c07df5cd4a00a638e2d208.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.199ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (T)\subset \mathbb {R} .}" loading="lazy"> Es gibt also keine Spektralwerte, die echte <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexe Zahlen</a> sind. Insbesondere hat eine selbstadjungierte Matrix nur reelle Spektral- beziehungsweise <a href="Eigenwerte" class="mw-redirect" title="Eigenwerte">Eigenwerte</a>.</li>

<li>Ein Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ist <a href="Positiver_Operator" title="Positiver Operator">positiv</a>, das heißt, es gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle Tx,x\rangle \geq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle Tx,x\rangle \geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4863b9c158c7a4fdc0f64cdda33d435f47069bda.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.4ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle Tx,x\rangle \geq 0}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in D(T)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in D(T)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c1c64d67090c5275875bd1ce79808944df4c2b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.54ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\in D(T)}" loading="lazy"> genau dann, wenn für das Spektrum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (T)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (T)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9888a5496892a8c482ad465f48b839102187bd1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.775ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (T)}" loading="lazy"> die Inklusion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (T)\subset [0,\infty ]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (T)\subset [0,\infty ]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/857c47d63fe29317d0c62a1bb9448b6974e5e918.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.688ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (T)\subset [0,\infty ]}" loading="lazy"> gilt.</li>

<li>Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle Tx,x\rangle \geq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle Tx,x\rangle \geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4863b9c158c7a4fdc0f64cdda33d435f47069bda.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.4ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle Tx,x\rangle \geq 0}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0957496d2596a81d84e50252c806c5ae488396.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.234ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in H}" loading="lazy"> gilt, so existiert ein selbstadjungierter Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle Bx,x\rangle \geq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle Bx,x\rangle \geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/572f6305a2ff13f3ec2ab8bfd9519001cdb67ed7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.528ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle Bx,x\rangle \geq 0}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0957496d2596a81d84e50252c806c5ae488396.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.234ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in H}" loading="lazy">, so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\circ B=T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\circ B=T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c917753f6afc7159e8690b6ad65f0d4ed4629c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.457ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B\circ B=T}" loading="lazy"> gilt.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Friedrichssche_Erweiterung">Friedrichssche Erweiterung</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Friedrichssche_Erweiterung" title="Friedrichssche Erweiterung">Friedrichssche Erweiterung</a></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (H,\langle ,\rangle _{H})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (H,\langle ,\rangle _{H})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a394e2bada32905c9e7d2e4557dbca55c79ed30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.442ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (H,\langle ,\rangle _{H})}" loading="lazy"> ein Hilbertraum und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon D(T)\to H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon D(T)\to H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15407683a344d7453028fb5c45aa32c15f2caeb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.718ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T\colon D(T)\to H}" loading="lazy"> ein dicht definierter halbbeschränkter Operator. Für einen Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> bedeutet halbbeschränkt zu sein, dass der Operator entweder die Ungleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle Tx,x\rangle _{H}\geq C\|x\|_{H}^{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle Tx,x\rangle _{H}\geq C\|x\|_{H}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d78e51376890f885ee0b34a0e27b2d7847ca6a74.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:19.041ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \langle Tx,x\rangle _{H}\geq C\|x\|_{H}^{2}}" loading="lazy"> oder die Ungleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle Tx,x\rangle _{H}\leq C\|x\|_{H}^{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle Tx,x\rangle _{H}\leq C\|x\|_{H}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7062a4f7b76aefc5dce4567d35eddb4358a7bf10.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:19.041ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \langle Tx,x\rangle _{H}\leq C\|x\|_{H}^{2}}" loading="lazy"> für ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f36a4ab9d1aae84f6be11f34056df42ee5a9931b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.285ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> und für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in D(T)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in D(T)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c1c64d67090c5275875bd1ce79808944df4c2b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.54ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\in D(T)}" loading="lazy"> erfüllt. Dann existiert zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> eine selbstadjungierte Erweiterung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy">, die derselben Abschätzung genügt.

Zu beachten ist, dass bei einem halbbeschränkten Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> der Ausdruck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle Tx,x\rangle _{H}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle Tx,x\rangle _{H}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0481c9a99ba70840a5a7f2520b00a5ad93638f2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.83ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle Tx,x\rangle _{H}}" loading="lazy"> reellwertig sein muss, da sonst die <a href="Ordnungsrelation" title="Ordnungsrelation">Ordnungsrelationen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \geq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \geq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bcef7c0e95bb77a35fd1a874ca91f425215f3c26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \geq }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \leq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \leq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/440568a09c3bfdf0e1278bfa79eb137c04e94035.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \leq }" loading="lazy"> nicht definiert sind; und Operatoren, für die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle Tx,x\rangle _{H}\in \mathbb {R} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle Tx,x\rangle _{H}\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5cac46482cb11cf9977fe7378f76ab3366bb0317.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.349ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle Tx,x\rangle _{H}\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0957496d2596a81d84e50252c806c5ae488396.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.234ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in H}" loading="lazy"> gilt, sind symmetrisch.

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon D(A)\to H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon D(A)\to H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e7ce3cc9e7fab35079a4af25d93c962c3d584b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.825ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T\colon D(A)\to H}" loading="lazy"> ein <a href="Abgeschlossener_Operator" title="Abgeschlossener Operator">abgeschlossener</a> und dicht definierter Operator. Dann lässt sich aus der Friedrichsschen Erweiterung folgern, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{*}T\colon \{x\in D(T):Tx\in D(T^{*})\}\to H}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{*}T\colon \{x\in D(T):Tx\in D(T^{*})\}\to H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23112cda26fd387bb7e4ec931c2b15722ffe031d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.239ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T^{*}T\colon \{x\in D(T):Tx\in D(T^{*})\}\to H}" loading="lazy"> dicht definiert und selbstadjungiert ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Spektralsatz_für_unbeschränkte_Operatoren">Spektralsatz für unbeschränkte Operatoren</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Spektralzerlegung">Spektralzerlegung</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Spektralsatz" title="Spektralsatz">Spektralsatz</a></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (H,\langle .,.\rangle _{H})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (H,\langle .,.\rangle _{H})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/facf102367b0a68b668fb0334cc8d063754cf5ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.509ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (H,\langle .,.\rangle _{H})}" loading="lazy"> ein Hilbertraum und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e1f558f53cda207614abdf90162266c70bc5c1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Sigma }" loading="lazy"> die <a href="Borelsche_%CF%83-Algebra" title="Borelsche σ-Algebra">borelsche σ-Algebra</a>. Für jeden selbstadjungierten Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon D(T)\to H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon D(T)\to H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15407683a344d7453028fb5c45aa32c15f2caeb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.718ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T\colon D(T)\to H}" loading="lazy"> existiert ein eindeutiges <a href="Spektralma%C3%9F" title="Spektralmaß">Spektralmaß</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E\colon \Sigma \to L(H,H)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E\colon \Sigma \to L(H,H)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a251e68ca61416929ac527ba56b9122521e52814.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.655ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E\colon \Sigma \to L(H,H)}" loading="lazy">, so dass

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle Tx,y\rangle _{H}=\int _{\mathbb {R} }t\,\mathrm {d} \langle E_{t}\,x,y\rangle _{H}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbb4dd1add0ceabe50e94b2d877241a06a6ec9a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:27.32ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \langle Tx,y\rangle _{H}=\int _{\mathbb {R} }t\,\mathrm {d} \langle E_{t}\,x,y\rangle _{H}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in D(T)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in D(T)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c1c64d67090c5275875bd1ce79808944df4c2b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.54ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\in D(T)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\in H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\in H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa3b8cfbeab2ec976c41ccc1573c57ef839d6c07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.06ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y\in H}" loading="lazy"> gilt. Diese Aussage ist der Spektralsatz für unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren. Fordert man, dass die Operatoren beschränkt und selbstadjungiert oder gar <a href="Kompakter_Operator" title="Kompakter Operator">kompakt</a> und selbstadjungiert sind, so vereinfacht sich das Resultat. Das wird im Artikel <a href="Spektralsatz" title="Spektralsatz">Spektralsatz</a> näher erläutert.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Multiplikationsoperator_2">Multiplikationsoperator</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> ebenfalls wieder ein Hilbertraum und sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon H\supset D(T)\to H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon H\supset D(T)\to H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a9425a74d812eade6dafc378e7a52f7a8769317.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.88ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T\colon H\supset D(T)\to H}" loading="lazy"> ein selbstadjungierter Operator. Dann existiert ein (im <a href="Separabler_Raum" title="Separabler Raum">separablen</a> Fall ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy">-endlicher) Maßraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22ed3b570455214147b8afded02ac578a0ba86e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}" loading="lazy">, eine <a href="Messbare_Funktion" title="Messbare Funktion">messbare Funktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79b5db51587979cab7e95987f81139d30b7a263d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.283ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }" loading="lazy"> sowie ein <a href="Unit%C3%A4rer_Operator" title="Unitärer Operator">unitärer Operator</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\colon H\to L^{2}(\mu )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\colon H\to L^{2}(\mu )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b97496ac8c45c920dad55829588e06c7d054099.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.342ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle U\colon H\to L^{2}(\mu )}" loading="lazy"> mit

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in D(T)\Leftrightarrow f\cdot Ux\in L^{2}(\mu )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/702b21f013710f045c91d6a72e18c3ac629bbcbe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.913ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle x\in D(T)\Leftrightarrow f\cdot Ux\in L^{2}(\mu )}" loading="lazy"> und</li>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle UTU^{*}\phi =f\cdot \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba386cd09b8664cb4137e31c976df0577eff3d50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.141ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle UTU^{*}\phi =f\cdot \phi }" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in \{\phi \in L^{2}(\mu ):f\cdot \phi \in L^{2}(\mu )\}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in \{\phi \in L^{2}(\mu ):f\cdot \phi \in L^{2}(\mu )\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/029dd271be1709addda14b454c236d1a924ea87c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.594ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \phi \in \{\phi \in L^{2}(\mu ):f\cdot \phi \in L^{2}(\mu )\}}" loading="lazy">.</li></ol>

Im Wesentlichen ist also der Multiplikationsoperator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \mapsto f\cdot \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \mapsto f\cdot \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49b2b2e1a6f7e82d11c487c9148fdfe670d6ca00.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.343ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi \mapsto f\cdot \phi }" loading="lazy"> das einzige Beispiel eines selbstadjungierten Operators.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Hans Cycon, Richard G. Froese, <a href="Werner_Kirsch_(Mathematiker)" title="Werner Kirsch (Mathematiker)">Werner Kirsch</a>, Barry Simon: Schrödinger Operators. Springer, 1987</li>

<li><a href="Friedrich_Hirzebruch" title="Friedrich Hirzebruch">Friedrich Hirzebruch</a>, <a href="Winfried_Scharlau_(Mathematiker)" title="Winfried Scharlau (Mathematiker)">Winfried Scharlau</a>: <cite style="font-style:italic">Einführung in die Funktionalanalysis.</cite> (= <cite style="font-style:italic">B. I.-Hochschultaschenbücher</cite>. Band 296). Bibliographisches Institut, Mannheim [u. a.] 1971, ISBN 3-411-00296-4.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Selbstadjungierter+Operator&rft.au=Friedrich+Hirzebruch%2C+Winfried+Scharlau&rft.btitle=Einf%C3%BChrung+in+die+Funktionalanalysis.&rft.date=1971&rft.genre=book&rft.isbn=3411002964&rft.place=Mannheim+%5Bu.+a.%5D&rft.pub=Bibliographisches+Institut&rft.series=B.+I.-Hochschultaschenb%C3%BCcher" style="display:none">  <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Scharlau%2C%20Winfried&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=35&mx-pid=463864">MR0463864</a></li>

<li>Reinhold Meise, Dietmar Vogt: <cite style="font-style:italic">Einführung in die Funktionalanalysis</cite> (= <cite style="font-style:italic">Vieweg Studium – Aufbaukurs Mathematik</cite>. Band 62). Vieweg Verlag, Braunschweig [u. a.] 1992, ISBN 3-528-07262-8.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Selbstadjungierter+Operator&rft.au=Reinhold+Meise%2C+Dietmar+Vogt&rft.btitle=Einf%C3%BChrung+in+die+Funktionalanalysis&rft.date=1992&rft.genre=book&rft.isbn=3528072628&rft.place=Braunschweig+%5Bu.+a.%5D&rft.pub=Vieweg+Verlag&rft.series=Vieweg+Studium+-+Aufbaukurs+Mathematik" style="display:none">  <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Meise%2C%20Reinhold&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=40&mx-pid=1195130">MR1195130</a></li>

<li>Michael Reed, <a href="Barry_Simon" title="Barry Simon">Barry Simon</a>: Methods of Modern Mathematical Physics. 4 Bände. Academic Press, 1978, 1980</li>

<li><a href="Walter_Rudin" title="Walter Rudin">Walter Rudin</a>: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, ISBN 0-07-054236-8. Kap. 13</li>

<li><a href="Gerald_Teschl" title="Gerald Teschl">Gerald Teschl</a>: Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. American Mathematical Society, Providence RI 2009, ISBN 978-0-8218-4660-5, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/">mat.univie.ac.at</a></li>

<li><a href="Dirk_Werner_(Mathematiker)" title="Dirk Werner (Mathematiker)">Dirk Werner</a>: <cite style="font-style:italic">Funktionalanalysis</cite>. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 342–347.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Selbstadjungierter+Operator&rft.au=Dirk+Werner&rft.btitle=Funktionalanalysis&rft.date=2007&rft.edition=6.%2C+korrigierte&rft.genre=book&rft.isbn=9783540725336&rft.pages=342-347&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="Dirk_Werner_(Mathematiker)" title="Dirk Werner (Mathematiker)">Dirk Werner</a>: <cite style="font-style:italic">Funktionalanalysis</cite>. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 236–237.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Selbstadjungierter+Operator&rft.au=Dirk+Werner&rft.btitle=Funktionalanalysis&rft.date=2007&rft.edition=6.%2C+korrigierte&rft.genre=book&rft.isbn=9783540725336&rft.pages=236-237&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <a href="Walter_Rudin" title="Walter Rudin">Walter Rudin</a>: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, ISBN 0-07-054236-8, S. 347–348.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <a href="Dirk_Werner_(Mathematiker)" title="Dirk Werner (Mathematiker)">Dirk Werner</a>: <cite style="font-style:italic">Funktionalanalysis</cite>. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, Kapitel VII.6.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Selbstadjungierter+Operator&rft.atitle=Kapitel+VII.6&rft.au=Dirk+Werner&rft.btitle=Funktionalanalysis&rft.date=2007&rft.edition=6.%2C+korrigierte&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783540725336&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-Werner-4"><a href="#cite_ref-Werner_4-0">↑</a> <a href="Dirk_Werner_(Mathematiker)" title="Dirk Werner (Mathematiker)">Dirk Werner</a>: <cite style="font-style:italic">Funktionalanalysis</cite>. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 342–347.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Selbstadjungierter+Operator&rft.au=Dirk+Werner&rft.btitle=Funktionalanalysis&rft.date=2007&rft.edition=6.%2C+korrigierte&rft.genre=book&rft.isbn=9783540725336&rft.pages=342-347&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-Hirzebruch-Scharlau-5"><a href="#cite_ref-Hirzebruch-Scharlau_5-0">↑</a> <a href="Friedrich_Hirzebruch" title="Friedrich Hirzebruch">Friedrich Hirzebruch</a>, <a href="Winfried_Scharlau_(Mathematiker)" title="Winfried Scharlau (Mathematiker)">Winfried Scharlau</a>: <cite style="font-style:italic">Einführung in die Funktionalanalysis.</cite> (= <cite style="font-style:italic">B. I.-Hochschultaschenbücher</cite>. Band 296). Bibliographisches Institut, Mannheim [u. a.] 1971, ISBN 3-411-00296-4, S. 158–159.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Selbstadjungierter+Operator&rft.au=Friedrich+Hirzebruch%2C+Winfried+Scharlau&rft.btitle=Einf%C3%BChrung+in+die+Funktionalanalysis.&rft.date=1971&rft.genre=book&rft.isbn=3411002964&rft.pages=158-159&rft.place=Mannheim+%5Bu.+a.%5D&rft.pub=Bibliographisches+Institut&rft.series=B.+I.-Hochschultaschenb%C3%BCcher" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-Meise-Vogt-6"><a href="#cite_ref-Meise-Vogt_6-0">↑</a> Reinhold Meise, Dietmar Vogt: <cite style="font-style:italic">Einführung in die Funktionalanalysis</cite> (= <cite style="font-style:italic">Vieweg Studium – Aufbaukurs Mathematik</cite>. Band 62). Vieweg Verlag, Braunschweig [u. a.] 1992, ISBN 3-528-07262-8, S. 204 ff.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Selbstadjungierter+Operator&rft.au=Reinhold+Meise%2C+Dietmar+Vogt&rft.btitle=Einf%C3%BChrung+in+die+Funktionalanalysis&rft.date=1992&rft.genre=book&rft.isbn=3528072628&rft.pages=204+ff.&rft.place=Braunschweig+%5Bu.+a.%5D&rft.pub=Vieweg+Verlag&rft.series=Vieweg+Studium+-+Aufbaukurs+Mathematik" style="display:none">

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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